चीनी एआई मॉडल ने घाइस के त्रि-आयामी अनुमान को सिद्ध करने में मदद की, लीन ने गणितीय प्रमाण की जांच की

1995 की गणितीय समस्या ने हासिल किया नया पड़ाव

1995 में प्रस्तुत एक गणितीय अनुमान के लिए जटिल विमा तीन को शामिल करने वाला प्रमाण सामने आया है। यह गणितज्ञों और शंघाई एआई लैबोरेटरी के Intern-S2 मॉडल के सहयोग से संभव हुआ। इसके बाद पेकिंग विश्वविद्यालय की टीम ने शोधपत्र के चार मुख्य प्रमेयों को ऐसे प्रमाणों में रूपांतरित किया, जिनकी जांच लीन (Lean) से हुई। यह गणितीय तर्क की पुष्टि के लिए बनाया गया कंप्यूटर सिस्टम है।

शंघाई एआई लैबोरेटरी ने 15 अक्टूबर, 2026 को इस उपलब्धि की घोषणा की और इसका श्रेय ग्रेट बे यूनिवर्सिटी के प्रोफेसर तथा लैबोरेटरी के विजिटिंग स्कॉलर दिशेंग शू के नेतृत्व वाली टीम को दिया। शोधपत्र Codimension-one holomorphic Anosov diffeomorphisms के एकमात्र लेखक स्वीडन के KTH रॉयल इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के जिएसोंग झांग हैं।

यह नतीजा फ्रांसीसी गणितज्ञ एटिएन घाइस के अनुमान के कोडाइमेंशन-वन वाले मामले को हल करता है, जिसमें जटिल विमा तीन का मामला भी शामिल है। यह गति और आकार के बीच एक उल्लेखनीय संबंध से जुड़ा है: क्या किसी खास तरह की अराजक गति को संभव बनाने वाले स्थान की अपनी गणितीय संरचना भी अत्यधिक व्यवस्थित होनी चाहिए?

Intern-S2 ने शोधकर्ताओं के साथ बार-बार संवाद के जरिए विचार और तर्क विकसित करने में मदद की। एआई के उपयोग संबंधी अपने घोषणा-पत्र में झांग कहते हैं कि उन्होंने सभी गणितीय पहलुओं की स्वतंत्र रूप से जांच की। इस सहयोग में मशीन की खोज, मानवीय निर्णय और औपचारिक सत्यापन की अलग प्रक्रिया शामिल थी।

लैबोरेटरी इस उपलब्धि को इस स्तर की गणितीय समस्या हल करने में चीनी एआई मॉडल के पहले इस्तेमाल के रूप में बताती है। ठोस नतीजा एक वर्गीकरण प्रमेय है, जिसके साथ सार्वजनिक प्रीप्रिंट और सार्वजनिक रूप से जारी औपचारिक सत्यापन का कोड भी उपलब्ध है।

गति और आकार के बारे में प्रमाण क्या कहता है

घाइस का अनुमान जटिल गतिकी के क्षेत्र से जुड़ा है। इस क्षेत्र में अध्ययन किया जाता है कि जब किसी गणितीय प्रणाली के निर्देशांक जटिल संख्याओं के नियमों का पालन करते हैं, तो वह कैसे बदलती है। जटिल संख्या के दो वास्तविक घटक होते हैं, इसलिए जटिल विमा तीन स्थानीय रूप से छह वास्तविक विमाओं के बराबर है। यह सामान्य कमरे में किसी वस्तु के चलने से कहीं अधिक अमूर्त परिदृश्य है।

एनॉसोव प्रणाली में खिंचाव और सिकुड़न का एक सटीक मेल होता है। बार-बार गति होने पर कुछ दिशाएं सिकुड़ती हैं, जबकि दूसरी फैलती हैं। शुरुआती बिंदु एक-दूसरे के करीब हों, तब भी वे तेजी से अलग हो सकते हैं। इससे अराजक व्यवहार पैदा होता है, हालांकि हर कदम को नियंत्रित करने वाला नियम सटीक होता है।

इसे किसी आकृति को बार-बार खींचने और मोड़ने की प्रक्रिया के रूप में समझा जा सकता है। यहां अध्ययन की गई गणितीय प्रणाली इससे कहीं अधिक सीमित है: इसके खिंचाव और संकुचन को एकसमान शर्तें पूरी करनी होती हैं और इसकी गति को जटिल निर्देशांक से मिली संरचना बनाए रखनी होती है।

घाइस ने अनुमान दिया था कि सघन जटिल मैनिफोल्ड पर ऐसी प्रणालियों का एक मानक बीजगणितीय विवरण होना चाहिए। मैनिफोल्ड ऐसा स्थान है जो छोटे आस-पास के क्षेत्र में सरल दिखता है, भले ही उसका पूरा आकार जटिल हो। इस संदर्भ में सघनता एक ऐसी गणितीय शर्त है जो स्थान को अनंत तक फैलने से रोकती है।

झांग का प्रमेय कहता है कि किसी सघन, संबद्ध जटिल मैनिफोल्ड पर हर कोडाइमेंशन-वन होलोमॉर्फिक एनॉसोव डिफियोमॉर्फिज्म, जटिल टोरस के एक हाइपरबोलिक ऑटोमॉर्फिज्म के साथ बाइहोलोमॉर्फिक रूप से संयुग्मित होता है। सरल शब्दों में, निर्देशांकों का ऐसा प्रतिवर्ती परिवर्तन जो जटिल संरचना का सम्मान करता है, गति को एक बेहद नियमित स्थान पर मानक बीजगणितीय रूपांतरण में बदल देता है।

जटिल टोरस का निर्माण जटिल स्थान के उन बिंदुओं की पहचान करके किया जा सकता है जो एक आवर्ती जालिका के तत्वों से अलग होते हैं। मुख्य उपलब्धि यह है कि जटिल गतिकी इस व्यवस्थित ज्यामितीय विवरण को अनिवार्य बना देती है।

सटीक दायरे का महत्व

शोधपत्र कोडाइमेंशन-वन वाले परिदृश्य पर केंद्रित है। इन प्रणालियों में इसका अर्थ है कि सिकुड़ने या फैलने वाले हिस्सों में से एक का जटिल विमा एक है। प्रमेय इस सीमित परिवार को सामान्य रूप से शामिल करता है और जटिल विमा तीन में अनुमान को हल करता है।

घाइस का व्यापक अनुमान जटिल मैनिफोल्ड की अधिक विस्तृत श्रेणी में होलोमॉर्फिक एनॉसोव प्रणालियों से संबंधित है। इसमें उनका वर्णन जटिल इन्फ्रा-निल्मैनिफोल्ड नामक स्थानों पर मानक बीजगणितीय मॉडलों के जरिए किया गया है। झांग का नतीजा अध्ययन किए गए मामले के लिए विशेष रूप से कठोर जवाब देता है: एक जटिल टोरस और एक हाइपरबोलिक ऑटोमॉर्फिज्म।

इस मामले पर काम करने वाले गणितज्ञों के लिए यह प्रमेय अज्ञात स्थान और गति की पहचान करने की समस्या को एक मानक मॉडल के अध्ययन में बदल देता है। निर्देशांकों का परिवर्तन मूल प्रणाली को उस मॉडल से जोड़ता है और जटिल ज्यामिति को बनाए रखता है।

शू कई वर्षों से इस समस्या का अध्ययन कर रहे थे। उन्होंने पहले अपने पूर्व सलाहकार और फील्ड्स मेडल विजेता आर्टुर आविला के साथ विमा तीन वाले मामले की पड़ताल की थी। बाद में शू और झांग ने इससे जुड़े आंशिक नतीजे हासिल किए, जो Journal of the European Mathematical Society में प्रकाशित हुए। नया काम इसी गणितीय सवाल पर लंबे समय से किए जा रहे अध्ययन को आगे बढ़ाता है।

ओलंपियाड परीक्षा से शोध साझेदारी तक

Intern-S2 की भूमिका से पहले 2025 की चीनी गणितीय ओलंपियाड में Intern-S1 को एक नतीजा मिला था। माध्यमिक विद्यालय गणित प्रतियोगिताओं की जिम्मेदारी संभालने वाली चीनी गणितीय सोसाइटी की समिति ने उसी साल एआई परीक्षा शुरू की और तीन चीनी मॉडलों को मानवीय प्रतियोगियों के समान समय-सीमा में सवाल हल करने के लिए आमंत्रित किया।

Intern-S1 ने समान अंक-निर्धारण मानकों के तहत 102 अंक हासिल किए और भाग लेने वाले तीन मॉडलों में पहले स्थान पर रहा। स्वर्ण पदक की सीमा 78 अंक थी, यानी इसका स्कोर उस सीमा से 24 अंक या करीब 31 प्रतिशत अधिक था।

शू ने शोध-स्तरीय गणित में मॉडल परिवार के इस्तेमाल की संभावनाएं देखीं, जबकि शंघाई एआई लैबोरेटरी प्रतियोगिता के सवालों से आगे बढ़कर अनसुलझे प्रश्नों पर काम करना चाहती थी। उनका सहयोग 2026 की शुरुआत में शुरू हुआ। इसमें मॉडल के काम और शोधकर्ताओं के साथ उसके संवाद को व्यवस्थित करने के लिए Harness नामक सॉफ्टवेयर प्रणाली बनाना भी शामिल था।

मुख्य चरण इस प्रकार थे:

• 1995: एटिएन घाइस ने अनुमान प्रस्तुत किया।
• 2025: Intern-S1 ने चीनी गणितीय ओलंपियाड की एआई परीक्षा में 102 अंक हासिल किए।
• 2026 की शुरुआत: शू और शंघाई एआई लैबोरेटरी ने मॉडल प्रशिक्षण के लिए सहयोग शुरू किया।
• मार्च 2026: शू लैबोरेटरी में विजिटिंग स्कॉलर बने।
• अगस्त 2026: Intern-S2 का आंतरिक रूप से विकसित संस्करण और उसकी सहायक प्रणाली गहन गणितीय खोज के लिए इस्तेमाल होने के चरण तक पहुंचे।
• 29 सितंबर: झांग का शोधपत्र arXiv पर पोस्ट किया गया। इसके बाद 13 अक्टूबर को संशोधित संस्करण आया।
• 15 अक्टूबर, 2026: उपलब्धि की सार्वजनिक घोषणा की गई।

गणितज्ञों ने एआई को कैसे दिशा दी

Intern-S2 ने समस्या की पहली पड़ताल में करीब 400 पन्नों की व्युत्पत्ति रिपोर्ट तैयार की। शू ने अपने पूर्व छात्र और KTH के पोस्टडॉक्टोरल शोधकर्ता झांग को विजिटिंग स्कॉलर के रूप में इस प्रयास में शामिल होने का निमंत्रण दिया। झांग डॉक्टरेट के दिनों से घाइस के अनुमान पर नजर रखे हुए थे।

शू और झांग ने मॉडल के प्रस्तावों की समीक्षा की, आशाजनक शुरुआतों की पहचान की और आगे की खोज को दिशा देने के लिए प्रतिक्रिया दी। मशीन ने तर्क की अलग-अलग शाखाओं पर काम किया और दलीलें तैयार कीं; गणितज्ञों ने तय किया कि किन दिशाओं पर आगे काम करना चाहिए और अंतिम प्रमाण को तैयार करने में मदद की।

लैबोरेटरी के अनुसार, तर्क-विचार के सात दौर हुए। प्रक्रिया के दौरान मॉडल का समस्या-ग्राफ 15 नोड से बढ़कर 389 नोड का हो गया। संचित सामग्री करीब एक हजार पन्नों तक पहुंची और उसमें प्रस्तावित दर्जनों तरीके शामिल थे।

समस्या-ग्राफ छोटे गणितीय कार्यों और उनके आपसी संबंधों का नक्शा होता है। एक नोड किसी मध्यवर्ती दावे को दर्शा सकता है, जबकि दूसरा उसे साबित करने के लिए जरूरी नतीजे को। बताई गई वृद्धि दिखाती है कि प्रणाली ने समस्या को कितनी व्यापकता से बांटा और उसकी पड़ताल की।

झांग के एआई उपयोग संबंधी घोषणा-पत्र में तैयार गणितीय काम की जिम्मेदारी का सीधा विवरण है: Intern-S2 के एक आंतरिक संस्करण ने कई दौर के संवाद के जरिए विचार और दलीलें विकसित करने में मदद की, और उन्होंने गणित की स्वतंत्र रूप से जांच की। अपने शोधपत्र में उन्होंने लगातार हुई चर्चाओं के लिए शू का आभार भी जताया है।

सहायक सॉफ्टवेयर का योगदान

शंघाई एआई लैबोरेटरी ने मॉडल के साथ ऐसा सॉफ्टवेयर जोड़ा जो तर्क की लंबी शृंखलाओं और बार-बार मिलने वाली मानवीय प्रतिक्रिया को व्यवस्थित करने के लिए बनाया गया था। यह प्रणाली कठिन प्रश्न को छोटे कार्यों में बांट सकती थी, कई दिशाओं में पड़ताल कर सकती थी और नतीजे शोधकर्ताओं की समीक्षा के लिए लौटा सकती थी।

प्रशिक्षण के तरीके में व्यापक वैज्ञानिक ज्ञान के साथ शोध-स्तरीय गणित पर केंद्रित सामग्री शामिल थी। इसमें गणितीय शोधपत्रों से ली गई कठिन समस्याएं और प्रस्तावित समाधानों की जांच के तरीके भी थे। लैबोरेटरी सत्यापन योग्य पुरस्कारों के साथ रीइन्फोर्समेंट लर्निंग का भी उल्लेख करती है। इसका अर्थ है कि सफल और जांचे जा सकने वाले तर्क प्रशिक्षण के लिए संकेत दे सकते थे।

इसके बाद शोधकर्ताओं ने सहायक प्रणाली से मिले अनुभव का इस्तेमाल मॉडल को बेहतर बनाने में किया। व्यावहारिक लक्ष्य लंबी पड़ताल के दौरान उपयोगी प्रगति बनाए रखना था, जिसमें मध्यवर्ती नतीजों का हिसाब रखना और नए तर्क विकसित होने पर गलतियां सुधारना शामिल था।

लैबोरेटरी ने IMO-Proof और AdvancedMathBench के नतीजों का भी हवाला दिया, जो गणितीय तर्क पर केंद्रित मूल्यांकन हैं। घाइस परियोजना में प्रणाली के काम करने के तरीके के सबसे विस्तृत प्रमाण व्यापक व्युत्पत्तियों, विशेषज्ञों की प्रतिक्रिया, तैयार शोधपत्र और उसके बाद हुए औपचारिक सत्यापन के क्रम में मिलते हैं।

पेकिंग विश्वविद्यालय ने प्रमाण की जांच कैसे की

बिन डोंग और रुओचुआन लियू के नेतृत्व वाली पेकिंग विश्वविद्यालय की टीम ने झांग के शोधपत्र के चारों मुख्य प्रमेयों को औपचारिक रूप देने के लिए अपने SHEAF ढांचे का इस्तेमाल किया। इस काम में घाइस के वे नतीजे भी शामिल थे जिन पर तर्क निर्भर करते हैं।

औपचारिक रूपांतरण में गणितीय परिभाषाओं, मान्यताओं और तर्क को ऐसी भाषा में लिखा जाता है जिसे कंप्यूटर जांच सके। पारंपरिक शोधपत्र में प्रशिक्षित पाठक से उम्मीद की जा सकती है कि वह परिचित चरणों को समझ लेगा। लीन में उन चरणों को सटीक कथनों और स्वीकृत तार्किक प्रक्रियाओं के जरिए व्यक्त करना जरूरी है।

टीम के सदस्यों जिएदोंग जियांग और बिन वू के अनुसार, इस काम में करीब पांच दिन लगे और एक समय में अधिकतम 100 एआई एजेंट समानांतर रूप से काम कर रहे थे। इससे लीन कोड की करीब 550,000 पंक्तियां तैयार हुईं। विशेषज्ञों ने यह भी जांचा कि औपचारिक कथन शोधपत्र के मुख्य प्रमेयों के गणितीय अर्थ से मेल खाते हैं।

SHEAF ने इस काम को परिभाषाओं, प्रतिज्ञप्तियों और निर्भरताओं के निर्देशित ग्राफ के रूप में व्यवस्थित किया। इससे अलग-अलग एजेंट संबंधित हिस्सों पर काम कर सके, जबकि टीम यह देखती रही कि किन कथनों के प्रमाण मौजूद हैं और किन पर अभी काम होना बाकी है।

औपचारिक रूपांतरण में सिर्फ अंतिम दलीलों का अनुवाद करना पर्याप्त नहीं था। गतिकी के कुछ सहायक नतीजे मौजूदा औपचारिक गणित पुस्तकालयों में उपलब्ध नहीं थे। टीम को या तो उनकी बुनियाद तैयार करनी पड़ी या उपलब्ध नतीजों का इस्तेमाल करने के रास्ते खोजने पड़े। इसके बाद सभी हिस्सों को एक पूरी शृंखला में जोड़ना था।

शोधपत्र arXiv पर प्रीप्रिंट के रूप में उपलब्ध है और औपचारिक रूपांतरण का कोड GitHub पर जारी किया गया है। घोषणा में किसी जर्नल में प्रकाशन या सहकर्मी समीक्षा के फैसले का उल्लेख नहीं है।

दोनों चरणों का साथ होना क्यों जरूरी है

Intern-S2 और SHEAF के उद्देश्य अलग-अलग थे। पहले ने गणितीय विचारों और दलीलों की खोज में मदद की। दूसरे ने ऐसे औपचारिक प्रमाण बनाने में सहायता की जिन्हें लीन जांच सके। मानवीय गणितज्ञों ने खोज को दिशा दी, उससे निकले गणित की जांच की और आकलन किया कि औपचारिक कथन अपेक्षित प्रमेयों को सही तरह व्यक्त करते हैं या नहीं।

काम का पैमाना इस बंटवारे को स्पष्ट करता है। खोज के दौरान निकली करीब एक हजार पन्नों की सामग्री से शोधपत्र तैयार हुआ; इसके बाद सत्यापन प्रक्रिया से औपचारिक कोड की करीब 550,000 पंक्तियां बनीं। हर चरण ने काम को अपने उद्देश्य के अनुकूल अलग रूप दिया।

आगे काम करने वाले शोधकर्ताओं के लिए सार्वजनिक शोधपत्र गणितीय दलीलें प्रस्तुत करता है, जबकि सार्वजनिक कोड औपचारिक प्रमाण की संरचना दर्ज करता है। औपचारिक रूपांतरण के दौरान जोड़ी गई परिभाषाएं और नतीजे इसी क्षेत्र में आगे के काम की बुनियाद भी बन सकते हैं।

अगला कदम: दोबारा इस्तेमाल होने वाला सत्यापन मॉड्यूल

शंघाई एआई लैबोरेटरी की योजना इस प्रक्रिया को अपने वैज्ञानिक खोज मंच Intern Duanyan के गणितीय सत्यापन मॉड्यूल के रूप में पैकेज करने की है। उद्देश्य है कि आगे की परियोजनाएं मॉडल की खोज, विशेषज्ञों की प्रतिक्रिया और औपचारिक जांच के इस मेल का फिर से इस्तेमाल कर सकें।

लैबोरेटरी इस परियोजना के दौरान विकसित तर्क-क्षमताओं को संबंधित गणितीय संरचनाओं वाले दूसरे विषयों में भी लागू करना चाहती है। प्रस्तावित चक्र यह है: शोध समस्या हल करना, उपयोगी तरीकों को दोबारा इस्तेमाल योग्य सॉफ्टवेयर में बदलना और फिर उन्हें किसी दूसरी पड़ताल में लागू करना।

शू के लिए यह नतीजा ग्रेट बे यूनिवर्सिटी, शंघाई एआई लैबोरेटरी, KTH और पेकिंग विश्वविद्यालय के सहयोग से लंबे समय से चली आ रही शोध रुचि को आगे बढ़ाता है। व्यापक गणितीय समुदाय के लिए यह एक नया वर्गीकरण नतीजा और मानवीय दिशा-निर्देशन में शोध में एआई की भागीदारी का विस्तृत उदाहरण, दोनों प्रस्तुत करता है।

मुख्य बिंदु

• नया प्रमाण घाइस के अनुमान के कोडाइमेंशन-वन वाले मामले को हल करता है, जिसमें जटिल विमा तीन भी शामिल है।
• जिएसोंग झांग शोधपत्र के एकमात्र लेखक हैं और उनका कहना है कि उन्होंने गणितीय पहलुओं की स्वतंत्र रूप से जांच की।
• दिशेंग शू और झांग ने बार-बार खोज और प्रतिक्रिया के जरिए Intern-S2 को दिशा दी।
• मॉडल का समस्या-ग्राफ 15 नोड से बढ़कर 389 नोड का हो गया और व्युत्पत्तियां करीब एक हजार पन्नों तक पहुंचीं।
• पेकिंग विश्वविद्यालय के SHEAF ढांचे ने चार मुख्य प्रमेयों और सहायक नतीजों को लीन में औपचारिक रूप देने में मदद की।
• बताया गया है कि सत्यापन में करीब पांच दिन लगे और कोड की लगभग 550,000 पंक्तियां बनीं।
• लैबोरेटरी की योजना इस प्रक्रिया को दोबारा इस्तेमाल योग्य गणितीय सत्यापन मॉड्यूल में बदलने की है।